QhSD14-011〈ありよりのアリゲーター〉が付いている〈白上フブキ〉が相手のマスコットが付いているhSD14-009〈白上フブキ〉をダウンさせました。
この場合、hSD14-011〈ありよりのアリゲーター〉の能力とhSD14-009〈白上フブキ〉のギフト「私は倒れちゃいけないな」の能力はどちらから処理されますか？

Aターンプレイヤーの能力を先に処理するので、hSD14-011〈ありよりのアリゲーター〉の能力から処理します。

Q自分のhSD15-008〈儒烏風亭らでん〉が相手のマスコットが付いているhSD14-009〈白上フブキ〉をダウンさせました。
hSD15-008〈儒烏風亭らでん〉のギフト「薄明」の能力とhSD14-009〈白上フブキ〉のギフト「私は倒れちゃいけないな」の能力はどちらから処理されますか？

Aターンプレイヤーの能力を先に処理するので、hSD15-008〈儒烏風亭らでん〉の能力から処理します。

Qマスコットが付いているhSD14-009〈白上フブキ〉が相手のターンでダウンした時、ギフト「私は倒れちゃいけないな」の能力でカードを引くのはいつになりますか？

AhSD14-009〈白上フブキ〉のダウン処理として、「ダウンした時」の能力を先に処理します。
この場合、カード1枚を引いてから、hSD14-009〈白上フブキ〉をアーカイブし、自分のライフを1つ減らします。ライフを1枚を表向きにし、自分のステージのホロメンにそのエールを送ります。