QhSD14-011〈ありよりのアリゲーター〉が付いている〈白上フブキ〉が相手のhSD16-007〈さくらみこ〉をダウンさせました。
この場合、hSD14-011〈ありよりのアリゲーター〉の能力とhSD16-007〈さくらみこ〉のギフト「みこの膝にごろーんってして」の能力はどちらから処理されますか？

Aターンプレイヤーの能力を先に処理するので、hSD14-011〈ありよりのアリゲーター〉の能力から処理します。

QhSD16-007〈さくらみこ〉が相手のターンでダウンした時、ギフト「みこの膝にごろーんってして」の能力でカードを引くのはいつになりますか？

AhSD16-007〈さくらみこ〉のダウン処理として、「ダウンした時」の能力を先に処理します。
この場合、カード1枚を引いてから、hSD16-007〈さくらみこ〉をアーカイブし、自分のライフを1つ減らします。ライフを1枚を表向きにし、自分のステージのホロメンにそのエールを送ります。

Q自分のhSD15-008〈儒烏風亭らでん〉が相手のhSD16-007〈さくらみこ〉をダウンさせました。
この場合、hSD15-008〈儒烏風亭らでん〉のギフト「薄明」の能力とhSD16-007〈さくらみこ〉のギフト「みこの膝にごろーんってして」の能力はどちらから処理されますか？

Aターンプレイヤーの能力を先に処理するので、hSD15-008〈儒烏風亭らでん〉の能力から処理します。