QhBP01-114〈石の斧〉が付いている自分のhBP01-034〈アキ・ローゼンタール〉が、hBP01-037〈アキ・ローゼンタール〉のブルームエフェクト「ゴシックドール」によって回復した場合、hBP01-114〈石の斧〉の能力でカードを引けますか

Aはい、引けます。

QhBP01-114〈石の斧〉とhBP01-119〈ジョブズ〉が付いていて、残りHPが10の自分のhBP01-034〈アキ・ローゼンタール〉がアーツを使用した時、相手のホロメンにアーツダメージを与えることはできますか？

Aはい、与えることができます。
アーツ使用の宣言の後に、hBP01-114〈石の斧〉とhBP01-119〈ジョブズ〉の「アーツを使った時」の能力が同時に誘発し待機状態となります。
アーツダメージを与える処理までを行った後、チェックタイミング待機状態の能力の解決順番を選ぶことになり、先に〈ジョブズ〉の能力を発揮してHPを10回復し、その後〈石の斧〉の能力で10ダメージが与えられる場合、hBP01-034〈アキ・ローゼンタール〉はダウンしません。

QhBP01-114〈石の斧〉が付いていて、残りHPが10の自分のhBP01-034〈アキ・ローゼンタール〉がアーツを使用した場合、相手のホロメンにアーツダメージを与えることはできますか？

Aはい、与えることができます。
残りHPが10のhBP01-034〈アキ・ローゼンタール〉が〈石の斧〉が付いている状態でアーツを使った場合、アーツダメージを与える処理までを行った後、〈石の斧〉の「アーツを使った時」の能力が発揮し、〈アキ・ローゼンタール〉は10ダメージを受けて、ダウンします。

QhBP01-114〈石の斧〉が付いている残りHPが10の自分のhBP01-034〈アキ・ローゼンタール〉がアーツを使用し、hBP01-114〈石の斧〉の能力でダメージを受け、ダウンしました。センターホロメンが不在の状態ですが、次の自分のターンのリセットステップまで自分のセンターホロメンは不在のままになりますか？

Aいいえ、そのターンのエンドステップでセンターホロメンを設定します。

バックポジションのお休みしていないホロメンがいる場合は、お休みしていないホロメンの中から1人選び、センターポジションに移動させます。

お休みしているホロメンしかいない場合は、そのホロメンをお休みしている状態のままセンターポジションに移動させます。

QhBP01-114〈石の斧〉が付いている残りHPが10の自分のhBP01-034〈アキ・ローゼンタール〉がアーツを使用してダウンした場合、自分のライフは減りますか？

Aはい、ライフは減ります。
自分のカードの能力で自分のホロメンにダメージを与えてダウンした時でも、ライフの増減に関する特別な表記がない場合は、ライフが減ることになります。